.RU

Поверхностные интегралы



математический анализ. 3 семестр. Логинов А.С. 2005 г. loginov_1999@mail.ru
Глава 4. Поверхностные интегралы


§1. Поверхностные интегралы 1-го рода

1.Площадь поверхности, заданной уравнением z=f(x,y)

Будем предполагать, что функция f(x,y) определена и непрерывна вместе со своими частными производными , в области D. Обозначим эти производные p=, q=. Уравнение касательной плоскости в точке (x,y,z) имеет вид Z – z = p (X – x) +q(Y – y). Нормаль =(p, q, -1), . Направляющие косинусы нормали равны

cos(,) = cos  = , cos(,) = cos  = , cos(,) = cos  =.

Разобьем D на {Di} . Цилиндры с основаниями Di вырезают на поверхности области Si = {(x,y,z): (x,y)Di , z = f(x,y) }.



На Sk выберем промежуточную точку Mk(k ,k , k) , k = f(k ,k ). В этой точке построим касательную плоскость. Цилиндр с основание Dk вырезает на этой плоскости фигуру Tk с некоторой площадью Tk . Известно, что

Dk = Tk |cos(,)|.

Таким образом

Tk =Dk.

За площадь поверхности z=f(x,y) принимается число

S====

Замечание 1. Координаты равноправны, в частности, для поверхности y=(x,z) получим

S=

Замечание 2. Для вычисления площади поверхности не представимой ни с одном из видов z=f(x,y), y=(x,z), x=(y,z) можно попытаться ее разбить на отдельные поверхности указанных типов.

2. Вычисление площади поверхности, заданной параметрически

Параметрическим заданием поверхности называется задание следующего вида

S: ,

x,y,z – непрерывно дифференцируемые функции в и Якобианы

A=, B=, C=,

не обращаются в 0 одновременно (ни в одной точке области D).

Вектор =(A,B,C) является вектором нормали к поверхности в заданной точке.

Рассмотрим разбиение {Sk} поверхность S на части. Характеристикой этого разбиения называется величина  = max d Sk – максимальный из диаметров Sk. В каждой Sk выберем точку Mk и пусть нормаль в этой точке. Через Tk обозначим фигуру лежащую в касательной плоскости к S в точке Mk, являющуюся проекцией Sk на эту плоскость в направлении нормали .

Площадью поверхности S называется предел сумм вида при стремлении к нулю характеристики разбиения , при условии существования этого предела и независимости его то выбора разбиения и выбора промежуточных точек.

S = .

Поверхность в этом случае называется квадрируемой.

Как и в случае явного задания, можно показать, что при сделанных предположениях S будет квадрируема и её площадь будет равна

S==.

Если положить

E==++

G==++

F=, то EG – F2 = EG – EG cos2 = EG sin2 = . Тогда

S=.

Выражение =

или в случае явного задания, называется элементом поверхности.

3. Определение поверхностного интеграла 1-го рода

Пусть задана квадрируемая поверхность  и на ней функция f. Возьмем какое-либо разбиение {k } поверхности , выберем промежуточные точки Mk k и составим суммы вида

 =.

Определим характеристику разбиения ()=max dk.

Поверхностным интегралом первого рода называется предел сумм  при стремлении к нулю ()и при условии, что он не зависит от выбора разбиений и промежуточных точек. Поверхностный интеграл первого рода обозначается

.

4. Существование и вычисление интеграла 1-го рода

4.1. Поверхность  задана явно z = z(x,y), (x,y) D (компакт),

где z(x,y) имеет в D непрерывные частные производные первого порядка, фунуция f(x,y,z) определена и непрерывна на . Тогда существует интеграл , равный

=.

Доказательство. Для площадей получаем

k==.

Тогда интегральные суммы будут равны

 = ==+.

Первая из сумм является интегральной для , вторая может быть сделана сколь угодно малой выбором достаточно мелкого разбиения. Последнее следует из равномерной непрерывности функции f(x,y,z(x,y)) на D.

4.2. Поверхность задана параметрически

:

с непрерывно дифференцируемыми функциями x, y, z. Вектор =(A,B,C)  0 в D.

f(x,y,z) непрерывна на . Тогда поверхностный интеграл существует и равен

=.

Доказательство аналогично предыдущему. Поверхность разбивается на подобласти {k }, соответствующие разбиению {Dk }. Тогда

k==. И далее

 = ==+.

5. Простейшие свойства интегралов первого рода

1) =.

2) =+

3) =+

4) .

Все эти свойства следуют из соответствующих свойств двойных интегралов, с учетом формулы сведения поверхностного интеграла к двойному.

§2. Поверхностные интегралы 2-го рода

^ 1.Площадь стороны поверхности

Для поверхностей, которые нам встречались до сих пор можно ввести понятие стороны поверхности. Такие поверхности характеризуются, как двухсторонние поверхности. Их можно выкрасить в два цвета так, что один цвет не будет переходить в другой. Аналитически сторону поверхности можно определить, как множество всех единичных нормалей к поверхности таких, что любые две нормали данной стороны можно получить одну из другой непрерывным движением по поверхности вдоль некоторой непрерывной кривой, лежащей на этой поверхности. Существуют поверхности, не обладающие подобным свойством. Такие поверхности называются односторонними.

Примерами односторонних поверхностей могут служить лист Мёбиуса и «бутылка» Клейна.



Можно дать следующее определение односторонней и двухсторонней поверхностей. Поверхность называется двухсторонней, если выполнено следующее свойство: для произвольной точки поверхности при движении по любому замкнутому пути, лежащем на поверхности и выходящем из этой точки, мы возвращаемся в эту точку с тем же направлением нормали. Если же существует хотя бы один замкнутый путь, двигаясь по которому мы вернемся в исходную точку с противоположным направлением нормали, то такую поверхность называют односторонней.



В дальнейшем, в этом курсе будут рассматриваться только двухсторонние поверхности.

Определение. Поверхность с выбранной стороной (совокупность нормалей) называется ориентированной поверхностью.

Явно заданную поверхность : z = f(x,y) называют положительно ориентированной, если cos (n,k) > 0.

Для замкнутой поверхности положительной ориентацией называется выбор внешней нормали.

^ 2. Определение поверхностного интеграла 2-го рода

Определение спина.



Рассмотрим непрерывно дифференцируемую поверхность Ф: z = z(x,y) на D. Для заданного разбиения {Фk } этой поверхности и набора промежуточных точек {Мk } обозначим nk единичную нормаль в точке Мk к поверхности Ф. Через Dk обозначим проекцию Фk на плоскость x y. Для функции f , определенной на Ф рассмотрим интегральные суммы вида

 = sign cos(k, nk).

Поверхностным интегралом 2-го рода называется предел сумм  при стремлении к нулю характеристики разбиения, при условии, что этот предел не зависит от выбора разбиения и промежуточных точек. Обозначается интеграл

=.

Замечание. Если Ф- та же поверхность с противоположной ориентацией, то

= -.

Аналогично определяются интегралы dydz , dzdx , в случае, если поверхность однозначно проектируется на соответствующие координатные плоскости. Интегральные суммы будут иметь вид sign cos(i, nk), sign cos(j, nk).

Рассмотрим векторное поле V=(P,Q,R) определенное на поверхности Ф, которая однозначно проектируется на все координатные плоскости. В этом случае можно рассмотреть интеграл

P dydz +Q dzdx+R dxdy =P dydz +Q dzdx+ R dxdy .

3. Существование и вычисление поверхностного интеграла 2-го рода

Поверхность задана явно Ф : z = z(x,y) на D , с непрерывно дифференцируемой функцией z(x,y). f(x,y,z) – непрерывна на Ф. Тогда поверхностный интеграл

f dxdy существует и вычисляется по формуле

= or Ф .

Здесь и в дальнейшем or Ф = 1 для положительно ориентированной поверхность и or Ф = -1 в противном случае.

Доказательство. Для заданных разбиений {Фk } , {Dk }, промежуточных точек {Мk} единичных нормалей nk в точках Мk к поверхности Ф обозначим cos k = cos (nk ,k) . Тогда для интегральных сумм получим

 = sign cos k = or Ф .

Из последнего равенства и следует требуемое утверждение. Аналогичные формулы имеют место для поверхностей вида y=y(z, x), x=x(y, z).

4. Связь с интегралом 1-го рода

Как отмечалось ранее k==или

Dk= . Отметим, что sign cos k = sign cos k . Поэтому

 = sign cos k = sign cos k =

cos k =cos k +(cos k - cos k ) .

Первая сумма является интегральной для , вторая сумма стремится у нулю при неограниченном измельчении разбиения. Последнее утверждение следует из ограниченности функции f (первая теорема Вейерштрасса) и равномерной непрерывности функции cos  (x,y,z) (функция – косинус угла между нормалью к поверхности и осью z является непрерывной функцией на поверхности). Таким образом, мы получаем формулу, связывающую поверхностные интегралы 2-го и 1-го рода

= . (1)

Определение. Поверхность, которая однозначно проектируется на все координатные плоскости будем называть поверхностью типа А. Поверхность называется допустимой, если она непрерывно дифференцируема, имеем везде ненулевую нормаль и допускает разбиение на конечное число поверхностей типа А.

Для допустимых поверхностей Ф, доказанная формула будет верна по отношению ко всем координатным плоскостям. В частности, если на поверхности определено непрерывно дифференцируемое поле V=(P,Q,R), то

P dydz +Q dzdx+R dxdy = (P cos  +Q cos  + R cos ) dS , (2)

где cos  , cos , cos  - направляющие косинусы нормали к поверхности.

5. Простейшие свойства поверхностного интеграла 2-го рода

Введем следующие обозначения dS=ndS=(cos , cos , cos ) dS. Это позволяет использовать краткое обозначение для интеграла 2-го рода

P dydz +Q dzdx+R dxdy = (V,dS).

Формула (2) в этих обозначениях выглядит следующим образом

(V,dS) = (V,n) dS (2)

1) (V,dS) = -(V,dS)

2) (V + W, dS) = (V, dS) + (W, dS)

3) (V,dS) = (V,dS) + (V,dS)

4) |(V,dS)|  max |V|

Все эти свойства являются следствием соответствующих свойств интеграла 1-го рода и формулы (2).

§3. Формула Стокса

^ 1. Поверхность, заданная уравнением z = (x, y)

Рассмотрим ориентированную непрерывно дифференцированную поверхность Ф: z = z(x, y), (x, y)D. Будем предполагать, что поверхность Ф однозначно проектируется на плоскость y=0. Через Г обозначим край этой поверхности с согласованной ориентацией. Пусть f(x,y,z) задана и непрерывна на Ф и имеет там непрерывные частные производные , . Тогда имеет место равенство

.

Доказательство проведем для положительно ориентированной поверхности



Отметим, что =. Пусть  имеет параметризацию

 : t[, ] тогда  : t[, ].

По формуле Грина

= - = = == =. Здесь использовалось соотношение между направляющими косинусами единичной нормали

cos  = , cos  = , откуда q cos  = - cos  .

2. Общий случай

Пусть Ф допустимая, ориентированная поверхность и V=(P,Q,R) непрерывное на Ф поле, Г край этой поверхности с согласованной ориентацией. Тогда справедлива формула Стокса

=.

Векторная запись формулы Стокса. Ротор определяется по формуле

rot V = .

Тогда формула Стокса запишется в виде

(V, ds) = (rot V, dS).

3. Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования

Лемма. Для того, чтобы интеграл

(V, ds) (3)

не зависел от пути интегрирования Г (соединяющего две фиксированные точки А , В ) необходимо и достаточно, чтобы интеграл (3) был равен нулю для любого замкнутого контура, лежащего в области.

^ Определение. Област�� D называется поверхностно односвязной, если для любой кусочно гладкой замкнутой кривой Г, лежащей в D можно указать ориентированную допустимую поверхность Ф, расположенную в D, краем которой является Г.

Примеры. Шар является поверхностно односвязной областью. Тор не является поверхностно односвязной областью.

^ Теорема 1. Для того, чтобы интеграл (3) не зависел от пути в поверхностно односвязной области D, необходимо и достаточно, чтобы rot V =0 в области D.

Доказательство. Достаточность следует из формулы Стокса и сформулированной леммы.

Необходимость. Предположим противное, существует точка М0 (её можно считать внутренней точкой области D), где rot V  0. Следовательно, одна из координат этого вектора в этой точке будет отлична от нуля. Пусть, например, Найдется окрестность этой точки, в которой будет выполнятся условие и которая будет лежать в ^ D.
Сечение этой окрестности плоскостью перпендикулярной оси x и проходящей через точку М0 обозначим (круг радиуса ), ориентированный ортом оси y , а его границу – через (окружность) , ориентированную обходом против часовой стрелки, если смотреть со стороны положительного направления оси y.



По формуле Стокса

(V, ds) = > , что противоречит условию теоремы.

Теорема 2. Для того, чтобы интеграл (3) не зависел от пути интегрирования в поверхностно односвязной области ^ D , необходимо и достаточно, чтобы подинтегральное выражение было полным дифференциалом

Pdx+Qdy+Rdz = du.

Доказательство. Достаточность. Если Pdx+Qdy+Rdz = du , то , , . Откуда следует, что rot V =0 .

Необходимость. Определим функцию u по формуле

u(x,y,z) = (V, ds) ,

где М0(x0, y0, z0) – фиксированная точка в области D , а интегрирование ведется по некоторому пути, соединяющему точки М0 и М. Так как интеграл не зависит от пути интегрирования, то определение корректно. Докажем, что таким образом определенная функция является искомой, т. е. , , . Вычислим производную непосредственно по определению.



Для отрезка ММ используем параметризацию

. Тогда

(u(x+x,y,z) - u(x,y,z))/x = = =P(x+x,y,z), откуда и следует требуемое соотношение.

§4. Формула Остроградского Гаусса

^ Определение. Объемно односвязной областью называется область D, удовлетворяющая следующему свойству. Любая замкнутая, кусочно гладкая, не самопересекающаяся поверхность, расположенная в D , является границей области целиком лежащей в D. Можно сказать, что внутри области нет полостей.

Рассмотрим объемно односвязную область W и функцию R , определенную в этой области и имеющую там непрерывную производную . Границу этой области, ориентированную положительно, обозначим  W .

Тогда справедлива формула Остроградского Гаусса

= .

При доказательстве этого равенства будем предполагать, что область W выпукла по z ( любая вертикаль пересекает W по отрезку или по пустому множеству). В этом случае область W можно описать, как геометрическое место точек следующего вида:

W = {(x,y,z):z[z1(x,y),z2(x,y)] для любых (x,y)D},



где z1(x,y),z2(x,y) – две непрерывные функции, определенные на D. В этом случае

= ==

+=.

Делая циклические перестановки переменных xzy, yxz, zyx

можно получить еще две формулы для поверхностей выпуклых по другим осям.

= ,= .

Если область W удовлетворяет всем трем условиям одновременно и в области задано поле V=(P,Q,R) c непрерывными частными производными па соответствующим переменным, то эти три формулы можно собрать в одну

= .

Дивергенция векторного поля определяется по формуле div V = .

Тогда, используя векторные обозначения формулу Остроградского Гаусса можно записать в виде

div V dW = (V,dS).

Формула Остроградского Гаусса будет верна и для областей допускающих разбиение на конечное число областей указанного типа.

Пример. 4389



I = (x-y+z)dydz+(y-z+x)dzdx+(z-x+y)dxdy,

Ф : |x-y+z|+|y-z+x|+|z-x+y|=1





По формуле Остроградского Гаусса I =3. Сделаем замену переменных

, в этом случае в новых координатах граница области будет определяться уравнением : |u|+|v|+|w|=1. Якобиан отображения равен

=4, , поэтому I = =8 =1.

Пример 4381, 4390.

§5. Элементы теории поля

  1. Введение

Функция u(x,y,z) , заданная в области D будет называться скалярным полем. О векторном поле V=(P,Q,R) речь уже шла в предыдущих параграфах. Ранее было введено понятие градиента скалярного поля V = grad u , который является векторным полем. Функция u называется потенциалом векторного поля, а само поле называется потенциальным. Связь между потенциалом и координатами векторного поля задается соотношением du=Pdx+Qdy+Rdz . Интеграл (V, ds) для замкнутой кривой С называется циркуляцией векторного поля по C. Замкнутая кривая зачастую называется контуром, а интеграл по контуру обозначается (V, ds) и представляет собой работу векторного поля вдоль этого контура. Поле называется безвихревым, если его ротор равен нулю.

^ Теорема (Условия потенциальности поля) . Пусть в поверхностно односвязной области D задано непрерывно дифференцируемое поле V=(P,Q,R). Тогда эквивалентны следующие три условия

  1. Циркуляция векторного поля (V, ds) равна нулю вдоль любого контура, лежащего в D.

  2. Поле V потенциальное, т. е. существует дважды непрерывно дифференцируемая функция, градиентом которой и является данное поле. При этом (V, ds) = u(B) - u(A).

  3. Поле V безвихревое.

Доказательство. Ранее было доказано, что из 1. следует 2. Равенство нулю ротора для потенциального поля проверяется непосредственно, т. о. из 2. следует 3. Из 3. следует 1. согласно формуле Стокса.

  1. Поток векторного поля

Будем считать, что V=(P,Q,R) – это поле скоростей (дан стационарный поток жидкости). Векторной линией поля V называется линия, касательная к которой в любой точке совпадает по направлению с вектором V .

Совокупность всех векторных линий данного поля, проходящих через некоторый контур, называется векторной трубкой.



Уравнения, определяющие векторную линию



Количество жидкости, протекающей через малую площадку ^ S, перпендикулярную потоку жидкости за единицу времени равно для наклонной площадки это будет S cos (, )| |=(, )S .



Составляя интегральные суммы вида и переходя к пределу можно получить выражение для количества жидкости протекающей через ориентированную поверхность Ф в направлении ее нормали в единицу времени. Эта величина называется потоком векторного поля V через ориентированную поверхность Ф и она равна интегралу

(V,dS).

Формула Остроградского Гаусса

div V dW = (V,dS).

связывает количество вытекающей жидкости через оболочку области с тройным интегралом от дивергенции. Если в качестве области рассмотреть шар, стягивающийся в точку, то мы получим

(V,dS)= div V dW =div VW, откуда

div V = (V,dS) / W.

Величина справа имеет смысл обильности источника. Таким образом, отличие от нуля дивергенции означает наличие в данной точке источника или стока, в зависимости от знака дивергенции.

В терминах потока жидкости можно сформулировать и формулу Стокса.

^ Определение. Поле V называется соленоидальным, если для него существует векторное поле W такое, что V = rot W. Такое векторное поле W называется векторным потенциалом поля V .

Теорема. Для того, чтобы поле V было соленоидальным необходимо и достаточно, чтобы div V = 0.

Необходимость. Если V = rot W, то непосредственной проверкой можно убедиться, что div V = 0 (div rot W = 0).

Достаточность. Будем искать частное решение уравнения V = rot W.

(P,Q,R)= или .

Решение будем искать среди полей, удовлетворяющих условию c = 0. Тогда система упростится и примет вид


.

Первое и второе уравнения интегрируем по z

b = - , a = - .

Еще раз сузим множество поиска, полагая  = 0. Дифференцируя полученные уравнения по x и по y, получим

, .

Откуда получим

R = -===R(x,y,z)- R(x,y,z0)+ .

Таким образом, = R(x,y,z0), откуда  =+D(y). Частное решение найдено в виде a = - , b = - ++D(y), с = 0. Где D – произвольная, непрерывно дифференцируемая функция одного переменного.

Замечание 1. Если W векторный потенциал поля V , то W1 = W + grad u также будет векторным потенциалом для любой дважды непрерывно дифференцируемой функции u.

Замечание 2. В случае соленоидального поля поток этого поля через любое сечение векторной трубки постоянен.



Действительно, по формуле Остроградского Гаусса (V,dS)= 0 , кроме того (V,dS)= 0. Откуда (V,dS)+ (V,dS) = 0 или (V,dS)= (V,dS).

§6. Дифференциальные операторы

1. Дифференциальные операторы 1-го порядка

  1. Набла = i + j + k .

u= i + j + k = grad u.

Свойства







f(u) = f(u) u.

Пример 1. r= i x + j y + k z, r = , r = r / r.

Пример 2. =-3 r = -3 r .

Пример 3. grad = =r = =. Таким образом, гравитационное поле потенциальное и его потенциал равен .

  1. Дивергенция div V = (,V ) = , V=(P,Q,R).

Свойства

(,V+W ) =(,V )+ (,W )

(,fV ) =f (,V )+ (f,V )

Пример 4. div r / r3 = (,r )= (,r )+ (,r )= +(-3 r, r ) = 0. Это следует и из примера 3.

Пример 5. Пусть =(x-x0, y-y0, z-z0) , где (x0, y0, z0) – фиксированная точка. Тогда div =. Имеем =(P,Q,R)=,

=,=,

=, откуда следует требуемое равенство.

Пример 6 (4391). Доказать, что =, где =(x-x0, y-y0, z-z0) и точка М0(x0, y0, z0) не лежит на границе области.

Рассмотрим сначала случай, когда точка М0 не лежит в области W. Тогда по формуле Остроградского Гаусса

====.

В случае, когда М0 лежит внутри области W , окружаем ее сферой достаточно малого радиуса  так , чтобы она целиком лежала внутри W. Эту сферу, ориентированную отрицательно, обозначим Ф . Шар радиуса  с центром в М0 обозначим K . Через W обозначим область W , из которой удалена шаровая полость K . К области W можно применить формулу Остроградского Гаусса

====.

С другой стороны =+=+==-42  при 0 .

Аналогично, для тройного интеграла

=-. Интеграл будет стремиться к 0 при 0. ===.

  1. Ротор rot V = [,V]

[,V+W ] =[,V ]+ [,W ]

[,fV]) =f [,V])+[f, V])

2. Дифференциальные операторы 2-го порядка

  1. rot grad u = [ , u]= 0

  2. div rot V = (,[,V]) = 0

  3. u = div grad u = (,u) = . Оператор Лапласа.

Функция u называется гармонической в некоторой области, если u =0 в этой области.

  1. grad div V

  2. rot rot V

Пример 5. (4447) Найти поток вектора гравитационного поля тяготения точечной массы, расположенной в начале координат V=mr через замкнутую поверхность Ф , не проходящую через начало координат в направлении внешней нормали.

В примере 4 было показано, что div V = 0 , поэтому вычисляемый поток будет равен нулю в случае, когда поверхность Ф не охватывает начало координат. В случае, когда гравитационная масса находится внутри области D, ограниченной поверхностью Ф рассмотрим сферу S с центром в начале координат целиком лежащую в области D и ориентированной внутренней нормалью. Тогда поток V через границу области с границей Ф + S ( область D с шаровой полостью ) будет равен нулю. Следовательно, искомый поток будет равен =--=m = m=m=4 m .

Пример 6. (4449) Доказать, что =dxdydz .

=(grad u , n) , откуда из равенства u = div grad u и формулы Остроградского Гаусса следует требуемое равенство.

Пример 7. Количества тепла, протекающее в поле температуры u за единицу времени через поверхность Ф в направлении ее нормали ( поток градиента температуры ) равен Q=, k – коэффициент внутренней теплопроводности (предполагается константой). По формуле Остроградского Гаусса =-k. Эта величина имеет смысл количества тепла, накопленного телом за единицу времени.



математический анализ. 3 семестр. Логинов А.С. 2005 г. loginov_1999@mail.ru

prikaz-ot-27-marta-1998-g-n-814-ob-utverzhdenii-polozheniya-o-podgotovke-nauchno-pedagogicheskih-i-nauchnih-kadrov-v-sisteme-poslevuzovskogo-professionalnogo.html
prikaz-ot-27-yanvarya-2012-goda-11-konkursnaya-dokumentaciya-s-izmeneniyami-i-dopolneniyami-po-sostoyaniyu-na-24-fevralya-2012-goda-vnesennimi-prikazom-ot-24-fevralya-2012-goda-19.html
prikaz-ot-28-aprelya-1997-g-n-83.html
prikaz-ot-28-dekabrya-2004-goda-moskva-n-215-ob-osnovnih-napravleniyah-ribohozyajstvennih-nauchno-issledovatelskih-i-proektno-konstruktorskih-rabot-vcelyah-realizacii-osnovnih-napravlenij-deyatelnosti.html
prikaz-ot-28-dekabrya-2010-g-n-190n-ob-utverzhdenii-ukazanij-o-poryadke-primeneniya-byudzhetnoj-klassifikacii-rossijskoj-federacii-stranica-13.html
prikaz-ot-28-dekabrya-2010-g-n-190n-ob-utverzhdenii-ukazanij-o-poryadke-primeneniya-byudzhetnoj-klassifikacii-rossijskoj-federacii-stranica-47.html
  • uchenik.bystrickaya.ru/kulturnoe-nasledie-egipta-russkaya-kultura-xviii-v.html
  • prepodavatel.bystrickaya.ru/test-s-viborom-odnogo-iz-chetiryoh-varianto-v-otveta-voprosi-bazovogo-urovnya-po-botanike-zoologii-anatomii-vernij-otvet-1-ball.html
  • exchangerate.bystrickaya.ru/billingovie-sistemi.html
  • tasks.bystrickaya.ru/1-verner-f-v-rechevoe-povedenie-zhenshin-i-muzhchin-fv-verner-yazikoznanie-ran-ser-6-1994-s-116-135.html
  • doklad.bystrickaya.ru/uchebno-metodicheskij-kompleks-disciplini-organizacionnoe-povedenie.html
  • tests.bystrickaya.ru/literatura-uchebno-metodicheskij-kompleks-dlya-obuchayushihsya-po-specialnosti-060500-buhgalterskij-uchet-analiz-i.html
  • education.bystrickaya.ru/37-mif-kak-osobij-sposob-mishleniya-cheloveka-ego-harakteristika-i-sposobi-vosproizvedeniya-aspektam-mifa-mircha-eliade.html
  • esse.bystrickaya.ru/rabochaya-programma-modulya-ekonomicheskaya-politicheskaya-i-socialnaya.html
  • grade.bystrickaya.ru/nazvanie-kol-vo.html
  • tests.bystrickaya.ru/magistraturaa-tsushler-shn-mamandi-bojinsha-emtihan-sratari-6m0704-esepteu-tehnikasi-zhne-badarlamali-amtamasiz-etu-aparat-teoriyasi.html
  • ucheba.bystrickaya.ru/poyasnitelnaya-zapiska-k-rabochej-programme-po-opk-cerkovnoslavyanskij-yazik-v-5-klasse-17ch-3-i-4-chetverti.html
  • write.bystrickaya.ru/glava-15-neobhodimost-sovershenstvovaniya-charlz-sperdzhen-lekcii-moim-studentam-perevod-s-anglijskogo-poltorackoj-n-f.html
  • teacher.bystrickaya.ru/glava-20-ksenofilius-lavgud-kakie-novosti-sprosil-tot-chto-bil-povishe.html
  • tests.bystrickaya.ru/metod-organizacionnogo-modelirovaniya-predstavlyaet-soboj-razrabotku-formalizovannih-matematicheskih-graficheskih-mashinnih-i-drugih-otobrazhenij-raspredeleniya-po-stranica-5.html
  • exchangerate.bystrickaya.ru/bogatij-kraj-zakavkazya-azerbajdzhan-chast-2.html
  • obrazovanie.bystrickaya.ru/prochtite-obyasnite-upotreblenie-artiklya-v-predlozheniyah.html
  • writing.bystrickaya.ru/elektromagnitnoe-pole.html
  • grade.bystrickaya.ru/ob-administrativnih-procedurah-osushestvlyaemih-gosudarstvennimi-organami-i-inimi-organizaciyami-po-zayavleniyam-grazhdan-stranica-5.html
  • crib.bystrickaya.ru/istoriya-ekonomicheskih-uchenij-celi-i-zadachi-kursa-stranica-8.html
  • shpargalka.bystrickaya.ru/vospominanie-skandal-usachevu-a-v.html
  • pisat.bystrickaya.ru/uchebnaya-programma-disciplini-disciplina-fizicheskie-osnovi-mikroelektroniki-naimenovanie-disciplini.html
  • otsenki.bystrickaya.ru/sabati-tairibi-batildi-s-manov-sabati-masati-blmdlk-oushilardi-s-manovti.html
  • notebook.bystrickaya.ru/kemerovo-2002-rabochaya-programma-po-discipline-opd-f-07-mikrobiologiya-mnogostupenchatoj-professionalnoj-podgotovki.html
  • prepodavatel.bystrickaya.ru/uchebnaya-programma-disciplini-r6-osnovi-teorii-antenn-po-napravleniyu-011800-radiofizika-magisterskaya-programma-elektromagnitnie-volni-v-sredah.html
  • znaniya.bystrickaya.ru/razdel-pushkin-montazher-v-knige-montazh-1937-primeri-v-skazka-pro-lisu-i-zajca.html
  • textbook.bystrickaya.ru/innovacionnie-proekti-i-programmi-v-obrazovanii-2010-5-s-41-43.html
  • lektsiya.bystrickaya.ru/posobiya-po-razvitiyu-rechi-predmet-metodiki-razvitiya-rechi-detej-sushnost-metodiki-i-ee-metodologicheskaya-osnova.html
  • lesson.bystrickaya.ru/rozrobka-dodatku-vddl-kadrv-do-avtomatizovano-sistemi.html
  • thescience.bystrickaya.ru/integrirovannaya-sreda-qbasic-3.html
  • lektsiya.bystrickaya.ru/pravila-vnutrennego-trudovogo-rasporyadka-dlya-rabotnikov-ozerskoj-srednej-shkoli-obshie-polozheniya.html
  • klass.bystrickaya.ru/44-raschyotno-graficheskaya-rabota-eyo-soderzhanie-programma-disciplini-en-f-01-7-metodi-optimizacii-rekomenduetsya.html
  • composition.bystrickaya.ru/polozhenie-o-iv-mezhdunarodnom-festivale-kuznechnogo-iskusstva-poyushij-metall-v-g-ulyanovske.html
  • institute.bystrickaya.ru/fp-sanin-ne-zabivajte-gde-vi-rabotaete-s-n-konyuhova-dnepropetrovsk-2006.html
  • laboratory.bystrickaya.ru/v-pogone-za-otrazheniem-padayut-v-nebo.html
  • institute.bystrickaya.ru/gorodskaya-uchebno-issledovatelskaya-konferenciya-severnoe-siyanie.html
  • © bystrickaya.ru
    Мобильный рефератник - для мобильных людей.